# 向量内积

在数学中，点积（Dot Product）又称数量积，是一个接受两个等长度的数字序列（通常是向量坐标），然后返回单个数字的代数运算。在欧几里德几何中，两个笛卡尔坐标向量的点积常称为内积（Inner Product）。

从代数的角度看，先对两个数字序列中的每组对应元素求积，再对所有积求和，结果即为点积。

从几何角度看，点积则是两个向量的长度与它们的夹角的余弦的积。

**代数定义：**

两个向量 $$\vec{a}=\[a\_1, a\_2, ..., a\_n]$$ 和 $$\vec{b}=\[b\_1, b\_2, ..., b\_n]$$ 的点积定义为：

$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = \displaystyle\sum\_{i=1}^n a\_ib\_i= a\_1b\_1+a\_2b\_2+...+ a\_nb\_n
$$

**几何定义：**

在欧几里德空间中，点积可以直观的定义为：

$$
\vec{a} \cdot \vec{b} =|{a}||{b} | \mathrm{cos}\theta
$$

这里$$|\vec{x}|$$表示向量$$\vec{x}$$的模的长度，$$\theta$$表示两个向量的角度。

当两个向量互相垂直时点积总是为零。因为$$\mathrm{cos} 90 = 0$$。当两个向量方向相同时，角度为$$0$$，内积为正的最大；当两个向量方向相反时，角度为$$180$$，内积为负的最大。

![](/files/-LJhagyXrYMHc96sW7qH)

若$${a}$$和$${b}$$都是单位向量（长度为1），它们的点积就是它们的夹角的余弦。那么给定两个向量，它们之间的夹角可以通过下列公式得到：

$$
\mathrm{cos} \theta =\frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{ |{a}| |{b}|}
$$

![](/files/-LJhagyZR0mIRuGf_chN)

向量的内积可以理解为向量A在向量B上的投影跟向量B的长度的乘积。

> source: <https://zh.wikipedia.org/wiki/点积>


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