方向导数和梯度

方向导数

定义：若二元函数$z=f(x,y)$在点$P(x_0,y_0)$处沿着$\vec{l}$（方向角为$\alpha$，$\beta$）存在下列极限

$$\dfrac{\partial f}{\partial l}=\lim\limits_{\rho\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x,y)}{\rho}$$

$$=f_x(x_0,y_0)\cos \alpha+f_y(x_0,y_0)\cos\beta$$

其中$\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$，$\Delta x=\rho\cos\alpha$，$\Delta y=\rho\cos\beta$，则称$\dfrac{\partial f}{\partial l}$为函数在点$P$处沿着方向$\vec{l}$的方向导数。方向导数$\dfrac{\partial f}{\partial l}$也就是函数$z=f(x,y)$在点$P$上沿着$\vec{l}$的变化率。

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梯度

方向导数公式$\dfrac{\partial f}{\partial l}=\dfrac{\partial f}{\partial x}\cos \alpha+\dfrac{\partial f}{\partial y}cos\beta$，令向量$\vec{G}=(\dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y})$，向量$\vec{l}=(\cos\alpha, \cos\beta)$

则$\dfrac{\partial f}{\partial l}=\vec{G}\cdot\vec{l} =\vec{l} \cos(\vec{G}, \vec{l})$，当$\vec{G}$与$\vec{l}$方向一致时，内积最大，方向导数取最大值。

定义向量$\vec{G}$为函数$f(P)$在$P$处的梯度（gradient）记作$\mathrm{grad}f(P)$，或$\nabla f(P)$，即

$$\mathrm{grad}f(P)=\nabla f(P)=(\dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y})$$

其中$\nabla=(\dfrac{\partial }{\partial x}, \dfrac{\partial }{\partial y})$，称为向量微分算子或Nabla算子。

梯度的几何意义

函数在点$P$处的沿着梯度向量的方向导数取最大值，那么也就是该方向的变化率最大，增长速度最快。

为什么梯度的方向是函数增长的方向？个人理解这要从导数（或偏导数）的定义开始。

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https://zh.wikipedia.org/wiki/导数

函数在某一点可导，得到的切线的斜率为导数，而切线的斜率定义为跟$x$轴正方向的夹角。即

一条直线与某平面直角坐标系横轴正半轴方向的夹角的正切值即该直线相对于该坐标系的斜率。 （https://baike.baidu.com/item/直线的斜率）

斜率是标量，没有方向，但是如果以斜率的大小作为方向的一个分量，上面图中斜率的方向为$(\Delta x, \alpha \Delta x)$，其中$\alpha > 0$，则因此沿着斜率的方向是函数增长的方向。偏导数同理，因此偏导数构成的向量是函数增长的方向。