Machine Learning
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  • Softmax
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softmax

Softmax

除了使用交叉熵来解决学习缓慢的问题外，还可以使用基于柔性最大值（softmax）神经元层。

柔性最大值的想法其实就是为神经网络定义一种新式的输出层。开始时和和S型层一样，首先计算带权输入

zjL=∑k(wjkLakL−1)+bjLz^L_j=\displaystyle\sum_{k}(w_{jk}^L a_k^{L-1}) + b_j^LzjL​=k∑​(wjkL​akL−1​)+bjL​

然后应用 softmax 函数在zjLz^L_jzjL​上，根据这个函数，第jjj个神经元的激活值就是

ajL=ezjL∑kezkLa^L_j = \frac{e^{z^L_j}}{\displaystyle\sum_{k}e^{z^L_k}}ajL​=k∑​ezkL​ezjL​​

其中分母的求和是在所有的输出神经元上进行的。而且所有输出的激活值加起来正好为1，同样保证输出激活值都是正数。而且柔性最大值层的输出可以被看做是一个概率分布。

下面计算ajLa^L_jajL​对ziLz_i^LziL​的导数

如果j=ij=ij=i：

∂ajL∂ziL=∂∂ziL(ezjL∑kezkL)\frac{\partial a_j^L}{\partial z_i^L} = \frac{\partial }{\partial z_i^L}(\frac{e^{z^L_j}}{\displaystyle\sum_{k}e^{z^L_k}})∂ziL​∂ajL​​=∂ziL​∂​(k∑​ezkL​ezjL​​)
=(ezjL)′⋅∑kezkL−ezjL⋅ezjL(∑kezkL)2=\frac{(e^{z^L_j})'\cdot\displaystyle\sum_{k}e^{z^L_k} - e^{z^L_j}\cdot e^{z^L_j} }{(\displaystyle\sum_{k}e^{z^L_k})^2}=(k∑​ezkL​)2(ezjL​)′⋅k∑​ezkL​−ezjL​⋅ezjL​​
=ezjL∑kezkL−ezjL∑kezkL⋅ezjL∑kezkL=\frac{e^{z^L_j}}{\displaystyle\sum_{k}e^{z^L_k}}-\frac{e^{z^L_j}}{\displaystyle\sum_{k}e^{z^L_k}} \cdot \frac{e^{z^L_j}}{\displaystyle\sum_{k}e^{z^L_k}}=k∑​ezkL​ezjL​​−k∑​ezkL​ezjL​​⋅k∑​ezkL​ezjL​​
=aj(1−aj)=a_j (1-a_j)=aj​(1−aj​)

如果j≠ij \neq ij=i：

∂ajL∂ziL=∂∂ziL(ezjL∑kezkL)\frac{\partial a_j^L}{\partial z_i^L}=\frac{\partial }{\partial z_i^L}(\frac{e^{z^L_j}}{\displaystyle\sum_{k}e^{z^L_k}})∂ziL​∂ajL​​=∂ziL​∂​(k∑​ezkL​ezjL​​)
=0⋅∑kezkL−ezjL⋅eziL(∑kezkL)2=\frac{0\cdot\displaystyle\sum_{k}e^{z^L_k} - e^{z^L_j}\cdot e^{z^L_i} }{(\displaystyle\sum_{k}e^{z^L_k})^2}=(k∑​ezkL​)20⋅k∑​ezkL​−ezjL​⋅eziL​​
=−ezjL∑kezkL⋅eziL∑kezkL=-\frac{e^{z^L_j}}{\displaystyle\sum_{k}e^{z^L_k}} \cdot \frac{e^{z^L_i}}{\displaystyle\sum_{k}e^{z^L_k}}=−k∑​ezkL​ezjL​​⋅k∑​ezkL​eziL​​
=−ajai= - a_j a_i=−aj​ai​

对数似然损失函数

其对数似然损失函数为：

C=−∑kyklogakC=-\displaystyle\sum_{k}y_k \mathrm{log}a_kC=−k∑​yk​logak​

其中aka_kak​为第kkk个神经元的输出值，yky_kyk​表示第kkk个神经元的真实值，取值为000或111。

这个代价的简单含义是：只有一个神经元对应了该样本的正确分类，若这个神经元的输出概率越高，则其产出的代价越小，反之则代价越高。

则计算损失函数对权重和偏置的偏导数：

∂C∂bjL=∂C∂zjL⋅∂zjL∂bjL\frac{\partial C}{\partial b_j^L} = \frac{\partial C }{\partial z_j^L}\cdot \frac{\partial z_j^L }{\partial b_j^L}∂bjL​∂C​=∂zjL​∂C​⋅∂bjL​∂zjL​​
=∂C∂zjL⋅∂∑k(wjkLakL−1)+bjL∂bjL=∂C∂zjL= \frac{\partial C }{\partial z_j^L}\cdot \frac{\partial \displaystyle\sum_{k}(w_{jk}^L a_k^{L-1}) + b_j^L }{\partial b_j^L} = \frac{\partial C }{\partial z_j^L}=∂zjL​∂C​⋅∂bjL​∂k∑​(wjkL​akL−1​)+bjL​​=∂zjL​∂C​
=∂∂zjL(−∑kyklogakL)= \frac{\partial}{\partial z_j^L}( -\displaystyle\sum_{k}y_k \mathrm{log}a_k^L )=∂zjL​∂​(−k∑​yk​logakL​)
=−∑kyk⋅1akL⋅∂akL∂zjL=-\displaystyle\sum_{k}y_k \cdot \frac{1 }{a_k^L} \cdot \frac{\partial a_k^L}{\partial z_j^L}=−k∑​yk​⋅akL​1​⋅∂zjL​∂akL​​
=−yj⋅1ajL⋅∂ajL∂zjL−∑k≠jyk⋅1akL⋅∂akL∂zjL=-y_j \cdot \frac{1 }{a_j^L} \cdot \frac{\partial a_j^L}{\partial z_j^L}-\displaystyle\sum_{k \neq j}y_k \cdot \frac{1 }{a_k^L} \cdot \frac{\partial a_k^L}{\partial z_j^L}=−yj​⋅ajL​1​⋅∂zjL​∂ajL​​−k=j∑​yk​⋅akL​1​⋅∂zjL​∂akL​​
=−yj⋅1ajL⋅ajL(1−ajL)−∑k≠jyk⋅1akL⋅−ajLakL=-y_j \cdot \frac{1 }{a_j^L} \cdot a_j^L (1-a_j^L)-\displaystyle\sum_{k \neq j}y_k \cdot \frac{1 }{a_k^L} \cdot -a_j^L a_k^L=−yj​⋅ajL​1​⋅ajL​(1−ajL​)−k=j∑​yk​⋅akL​1​⋅−ajL​akL​
=−yj+yjajL+∑k≠jyk⋅ajL=-y_j + y_j a_j^L +\displaystyle\sum_{k \neq j}y_k \cdot a_j^L=−yj​+yj​ajL​+k=j∑​yk​⋅ajL​
=ajL−yj=a_j^L-y_j=ajL​−yj​

同样可得：

∂C∂wjk=aL−1(ajL−yj)\frac{\partial C}{\partial w_{jk}}=a^{L-1}(a_j^L-y_j)∂wjk​∂C​=aL−1(ajL​−yj​)

因此可以确保不会遇到学习缓慢的问题。事实上把一个具有对数似然代价的柔性最大值输出层，看作与一个具有交叉熵代价函数的S型输出层非常相似。在很多应用场景中，这两种方式的效果都不错。

参考：https://blog.csdn.net/niuniuyuh/article/details/61926561

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