Logistic分布

Logistic分布的定义：设$X$是连续随机变量，$X$服从Logistic分布是指具有下列分布函数和密度函数：

$$F(x)=P(X\leqslant x)= \dfrac{1}{1+e^{-(x-\mu)/\gamma}}$$

$$f(x)=F'(X\leqslant x)= \dfrac{e^{-(x-\mu)/\gamma}}{\gamma(1+e^{-(x-\mu)/\gamma})^2}$$

其中，$\mu$为位置参数，$\gamma \gt0$为形状参数。

概率分布函数如下（$\mu$是位置函数，改变它可以平移图形）：

分布函数属于Logistic函数，是一条S形曲线（sigmoid curve）。该曲线以点$(\mu, \dfrac{1}{2})$为中心对称，即满足

$$F(-x+\mu)- \dfrac{1}{2} = -F(x+\mu) + \dfrac{1}{2}$$

曲线在中心附近增长速度比较快，两端增长速度比较慢。形状参数$\gamma$的值越小，曲线在中心附近增长的越快。

概率密度函数：